Главная Вопросы-ответы Новости О профессиях Тесты IQ, ЕГЭ, ГИА
все темы
все уроки
создана: 26.05.2020 в 22:06 ................................................
liliana :
Докажите по индукции, что для любого натурального n выполняется равенство:
а) 1+2+3+...+n=((n+1)*n)/2
b)2+4+6+...+2n=n*(n+1)
c)3+12+...+3*4n-1=4n-1
d)4+0+...+4*(2-n)=2n(3-n)
http://www.postupivuz.ru/vopros/8215.htm
Докажите по индукции:1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/3
Решение:
Метод математической индукции...
(a+1)(b+1)(ab+1)≥8ab при а≥0, b≥0.
Чтобы доказать это неравенство, докажем:
1) a + 1 ≥ 2√a
2) b + 1 ≥ 2√b
3) ab + 1 ≥ 2√ab
Док-во 1) Перенесем 2√а в левую часть неравенства, получим:
а+1-2√а ≥ 0
a+1-2√a = √a2 -2√a +1 = (√a -1)2 ≥ 0. Доказано,
т.к. любое число в квадрате неотрицательное.
Док-во 2) Доказывается, как и док-во 1), надо только букву а заменить на b.
Док-во 3) Доказываем так же.
ab + 1 ≥ 2√ab
ab + 1 -2√ab = √(ab)2 - 2√(ab) +1 = (√(ab) - 1)2 ≥ 0 верно, значит и 3) верно.
Теперь перемножим левые части неравенств и правые части.
(a + 1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 2√a *2√b *2√(ab)
(a + 1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 8*ab Доказано
(a + 1)*(b+1)*(ab+1) ≥ 8√a *√b *√(ab)
